کنترل مرزی بهینه رده ای از مسائل سهموی غیرخطی

مسائل سهموی نیم خطی رده ای از مسائل سهموی غیرخطی می یاشند‏، که کنترل بهینه آنها با سه چالش ناخطی بودن، هزینه پردازش بالا و هزینه حافظه بالا مواجه است. در این رساله برای گذر از این چالشها دو روش در قالب یک راهبرد پیشنهاد می شود. به واقع به وسیله راهبرد کنترل بهینه پیاپی مسئله کنترل بهینه اصلی، به طور هم ارز، به تعدادی متناهی زیر مسئل? کنترل بهینه،‏ که به طور پیاپی وابسته اند،‏ تجزیه می شود. در این راهبرد بازه زمانِ مسئله کنترل اصلی به تعدادی متناهی زیربازه پیاپی تجزیه می شود، سپس با تحدید مسئله کنترل اصلی به هر زیربازه یک زیرمسئله کنترل بهینه تعریف می شود به طوری که مقدار آغازین در زیرمسئله برابر با مقدار جواب بهین در زیرمسئله قبل در انتهای زیربازه زمان آن زیرمسئله باشد. مجموعه این زیرمسئله های پیاپی با مسئله کنترل اصلی هم ارز است؛ یعنی ترکیب پیاپی جوابهای بهینه زیرمسئله ها، جواب بهینه مسئله کنترل اصلی را به دست می دهد، و برعکس با تحدید جواب بهینه مسئله کنترل اصلی به زیربازه ها، جوابهای بهینه زیرمسئله ها به دست می آید. چون حل هر زیر مسئله به حافظه بسیار کمتری نیاز دارد، راهبرد کنترل بهینه پیاپی هزینه حافظه برای حل مسئله کنترل اصلی را بسیار کاهش می دهد. ازآنجاییکه زیرمسئله های راهبرد کنترل بهینه پیاپی مسائلی غیرخطی هستند برای حل آنها روش شبه خطی سازی پیشنهاد می شود. در این روش هر زیرمسئله با دنباله ای از مسائل کنترل بهینه درجه دوـ خطی تقریب می شود؛ که اولین مسئله در این دنباله با شبه خطی سازی معادله وضعیتِ زیرمسئله حول نقطه ای از فضای جواب به دست می آید، دومین مسئله درجه دوـ خطی با شبه خطی سازی معادله وضعیت زیرمسئله حول جواب بهینه اولین مسئله درجه دوـ خطی به دست می آید، و ... . ثابت می شود دنباله جوابهای بهینه این مسائل کنترل بهینه درجه دوـ خطی به هر جواب بهینه زیرمسئله کنترل بهینه همگراست. این مطلب یکتایی جواب بهینه زیرمسئله را نیز به دست می دهد؛ زیرا هر دنباله همگرا بیش از یک نقطه همگرایی ندارد. همچنین یکتایی جواب بهینه مسئله کنترل اصلی از یکتایی جواب بهینه زیرمسئله ها به دست می آید؛ که این نتیجه یکتایی در ادبیات کنترل بهینه مسائل سهموی نیم خطی جدید می باشد. حل دستگاههای بهینگی مسائل درجه دوـ خطی چالش غیرخطی بودن را ندارد، اما حل دنباله ای از این دستگاهها هزینه پردازش بالا خواهد داشت. از آنجاییکه هر دستگاه بهینگی توسط یک معادله نقطه ثابت توصیف می شود، روش ترکیبی پیشنهاد شده با پرهیز از حل کامل دستگاههای بهینگی (یا معادله های نقطه ثابت) هزینه پردازش را بسیارکاهش می دهد. در این روش به جای دنباله دستگاههای بهینگی، دنباله ای از معادلات بازگشتی تعریف می شود که در آن هر معادله، تکرار اول از روش تکرار نقطه ثابت برای یکی از معادله های نقطه ثابت می باشد. ثابت می شود دنباله جوابهای این دنباله از معادلات به هر جواب بهینه زیرمسئله کنترل همگراست؛ که بنابراین روش ترکیبی نیز مانند روش شبه خطی سازی یکتایی جواب بهینه زیرمسئله ها و نیز یکتایی جواب بهینه مسئله کنترل اصلی را به دست می دهد. ثابت می شود روش شبه خطی سازی و روش ترکیبی در قالب راهبرد کنترل بهینه پیاپی‏، پایداری عددی دارند. همچنین ثابت می شود این روشها مرتبه همگرایی شان دست کم خطی است.